第 8 集 · B1 · 7 分钟
数学思维 · 第8集 · 集合（续）
萨瓦捷耶夫用慢而清楚的俄语讲逻辑、函数、证明和集合，适合跟听长句。 开头：那么，有理数
中俄字幕
ну рациональные числа
那么，有理数
оказывается тоже существует взаимно
事实上也存在一一对应关系
однозначное отображение между
介于有理数与自然数之间
рациональными и натуральными вот.
有理数和自然数之间，就是这样。
в обратную сторону x минус первый тоже
反过来，x减1也同样成立。
существует. Вот.
就是这样。
Ну что, как мы это сделаем?
那么，我们该如何实现呢？
ну сделаем это так давайте рациональные
好吧，我们这样来实现：先把所有有理数
числа все поместим.
全部列出来。
ну можно между положительными и
嗯，可以在正数和
отрицательными по той же схеме можно потом
以相同方式表示负数
свернуть в общем разместим
总体上，我们将它们排列整齐
все положительные рациональные числа вот в
将所有正有理数排列在
эту четверть следующим образом.
这个象限中，方法如下。
каждому числу m разделить на n будем
对每个形如 m 除以 n 的数，我们将
ставить в соответствие
将其对应到
точечку с целыми координатами m и n то
坐标为整数 m 和 n 的点，即
есть m разделить на n ставится в
m 除以 n 对应到
соответствие вот такая вот точка.
这样一个点。
но вы меня спросите а как же если два n
但你们会问：如果两个分数
делить на два n там же ещё одна точка
将其除以二，n处还有另一个点
будет и ещё одна то есть получается что.
还会有一个，也就是说结果是这样。
одно и то же рациональное число многими
同一个有理数可以由多个
разными точками задаётся да многими но
不同的点来表示，是的，多个点，但
давайте возьмём самую ближайшую к нулю то
我们取离零最近的那个点
есть для каждого рационального числа берем
对每个有理数，我们取
несократимую дробь m разделить на n и ищем
不可约分数m除以n，并寻找
соответствующую точку тогда будет в
对应的点，那么就会有
точности соответствие между некоторым
某些点与之精确对应
количеством точек
一定数量的点
на сетке, да, на сетке, целочисленной
在网格上，是的，在整数网格上
сетке. и множество рациональных чисел, то
网格上。而有理数集则
есть мы, соответственно,
即我们相应地
Теперь видим рациональные числа как
现在我们将有理数视为
подмножество узлов
整数网格正象限节点的子集
целочисленной сетки положительного
整数网格正象限
квадранта. Ну а теперь вообще как бы
那么现在，实际上
расплюнуть все их перечислить, то есть это
将它们全部压平并逐一列出，即这是
первая, это вторая, это третья, вот таким
第一个，这是第二个，这是第三个，以这种
бустрафидончиком, четвёртая, пятая,
螺旋式方式，第四个，第五个
шестая, седьмая, вот так.
第六个，第七个，就这样。
Берём и все перечисляем, все по очереди.
我们逐一取出并全部列举出来。
А чтобы собрать урожай, состоящий только
而要只收获所有有理数构成的果实，
из. всех рациональных чисел,
仅由所有有理数组成，
мы просто перечисляем не все подряд точки,
我们只需列举这个蛇形排列中的点，
а только те точки в этом бустрофедончике.
而是仅列举这个蛇形排列中的那些点，
которые обозначают рациональные числа.
这些点代表有理数。
Ну вот так идем, идем, идем, первое
就这样一直走、走、走，第一个出现的——
попалось, о, номер один будешь, номер два
哦，你排第一，你排第二，
будешь, номер три.
你排第三。
Так как разные точки соответствуют всегда
因为不同的点总是对应
разным рациональным числам, то
不同的有理数，因此
у нас получилось аккуратное перечисление
我们得到了所有有理数的一个精确列举。
всех рациональных чисел.
所有有理数。
Вы не представляете себе, насколько
你无法想象这一结果在数学上
далекие последствия математические у этого
产生的数学后果有多么深远。
результата. Ведь на самом деле это
事实上，这表明在实数轴上，
означает, что на вещественной прямой.
实数轴上。
Рациональные числа, они же всюду, это
有理数无处不在，这被称为处处稠密。
называется всюду плотные, они всюду
无处不在。
встречаются, если ты шагаешь шагом по 1
相遇，如果你以百万分之一的步长行走
миллионную, то у тебя
那么在每个点附近，
в районе каждой точки, в окрестности
在小于百万分之一的邻域内，
меньше чем 1 миллионной попадает какая- то
总会有某个数落入其中，
миллионная доля какого- то целого числа.
这个数是某个整数的百万分之一。
Поэтому рациональные числа, они как бы вот
因此，有理数可以说无处不在，
всюду вообще, куда ни плюнь, там огромное
无论你往哪儿看，都有大量有理数。
количество рациональных чисел.
有理数的数量极其庞大。
Ну и вот оказывается, что мы все их можем
结果发现，我们能够把它们全部一一列举出来，
перечислить, все до одного.
一个不落地全部列举出来。
И последствия просто неимоверные,
其后果简直难以估量，
в частности это из этого следует, что
具体来说，这意味着
рациональные числа имеют так называемую
有理数具有所谓的
меру ноль, или иными словами встречаются
零测度，换句话说，在所有实数中
бесконечно редко среди всех вообще чисел
出现的概率无限小
на прямой. а почему я так сказал
在数轴上。那么我为何如此断言？
а потому что опа проблема
因为这是一个关键问题：
все числа не равномощны натуральным.
所有数集与自然数集并不等势。
не равномощной натуральным.
与自然数集不等势。
И вот это, так сказать, если шок был
而这，可以说，当初曾引发巨大震撼。
первый шок для нормального человека,
对普通人来说的第一个冲击是，
что целых чисел столько же, сколько
整数的数量与自然数一样多，
натуральных, следующий шок, что даже
第二个冲击是，甚至分数的数量也一样多，
дробей столько же, но он уже как бы
但这个冲击已仿佛被视作前一个冲击的推论。
воспринимается как следствие этого шока.
接下来，头脑试图认为：既然如此，那所有这类集合的数量大概都相同吧？
И дальше голова пытается
接着头脑试图说：
сказать, что ну наверное вообще тогда всех
那么，大概所有集合的数量都一样吧？
их одинаково, ну если бесконечное
如果都是无穷集合，那它们就都一样，
множество, то оно одинаковое, да, неважно
是的，元素数量多少并不重要，
сколько в нем элементов, любое бесконечное
任何无穷集合……
множество, оно, наверное, может быть
集合，它大概可以
перечислено.
被一一列举出来。
Так вот нет.
所以，并非如此。
нельзя перечислить все вещественные числа.
无法将所有实数一一列举出来。
Это немножко сложнее, и в нашем начальном
这稍微复杂一些，在我们初等的
курсе это утверждение доказано не будет.
课程中，该命题不会被证明。
Но я докажу утверждение, из которого
但我将证明一个命题，由此
данное может быть выведено не очень
可较容易地推出该结论。
сложно. А именно я докажу теорему Кантора.
具体来说，我将证明康托尔定理。
Наверное, самая перевернувшая
或许最具颠覆性的
математический мир теорема вообще.
数学世界中的定理。
Теорема Кантора звучит так.
康托尔定理表述如下。
Никакое множество
任何集合
не является равномощным, ну то есть не
都不与其幂集等势，也就是说，
может быть установлено взаимно
无法建立一一对应关系，
однозначного соответствия,
即无法建立一一对应关系，
никакого множества с его множеством
任何集合与其所有子集构成的集合之间，
подмножеств всех.
的所有子集构成的集合之间。
Вот такое утверждение.
这就是该命题。
Сейчас я его сформулирую абсолютно строго
现在我将严格地陈述它。
и докажу. все мы готовы к подвигу
并证明它。我们所有人都准备好做出壮举。
теорема кантора
康托尔定理
пусть а какое угодно множество, конечное,
设A为任意集合，有限的，
бесконечное, не важно.
无限的，这无关紧要。
любое множество.
任意集合。
тогда множество два
那么集合2
в степени а ну это нужно объяснить да что
的A次方——这需要解释一下，即
это означает.
这表示的是：
то есть множество всех p
即所有属于A的子集P构成的集合，
лежащих в A.
且P属于A。
То есть всех подмножеств множества A мы
也就是说，我们列举集合A的所有子集。
перечисляем все подряд.
我们依次全部列出。
Пустое подмножество, потом все
空子集，然后所有
одноэлементные не перечисляем, а просто
单元素子集——我们不逐一列出，而是直接
говорим, что есть, внутри этого 2 в
说明其存在，即在2的A次方中。
степени A. Все двухэлементные, все
所有双元素子集，所有
бесконечные разного рода там.
各种类型的无限子集。
Короче, любой признак,
总之，任何能区分出子集的特征，
который выделяет подмножество,
即能界定子集的特征，
подмножество это как бы какой- то признак,
子集本身就像某种特征。
там, например, чётные числа, это что
例如，偶数是什么？
такое? Просто подмножество 2, 4, 6 и так
这样的？仅仅是子集：2、4、6等等。
далее натуральных чисел.
接下来是自然数。
Простые числа, это тоже подмножество
质数也是自然数的一个子集。
натуральных чисел соответствующего вида.
具有相应形式的自然数。
Так вот, утверждение состоит в том, что
因此，该命题断言：
множество 2 в степени A не
集合2的A次幂
равно мощно A.
与A不等势。
Равно мощно это
等势正是指其元素个数相同。
как раз означает, что в нём такое же
即其中含有同样多的元素。
количество элементов.
元素的数量。
Иными словами,
换句话说，
что существует взаимно однозначное
存在一个一一对应关系，
соответствие между ними, отображение.
即一个映射。
функция, функция из A в 2 в степени A,
一个从集合A到集合2的A次幂的函数，
функция, отображение, все синонимы,
函数、映射，这些词是同义词，
отображение из A в 2 в степени A,
即从集合A到集合2的A次幂的一个映射，
которое каждому элементу A ставит в
它将A中的每个元素，
соответствие какое- то подмножество здесь.
对应此处的某个子集。
разным элементам ставит в соответствие
将不同的元素对应到
разные подмножества, и
不同的子集，且
для любого подмножества есть элемент,
对任意子集，都存在一个与之对应的元素，
который ему соответствует, да, вот при
是的，这正是在该函数对应关系下成立的。
этом функциональном соответствии.
在此函数对应关系下。
Итак, теорема Кантора утверждает, что если
因此，康托尔定理指出：若
A любое вообще множество, тогда вот это
A 是任意集合，则该
множество не равномощно A, то есть не
集合与 A 不等势，即不存在这样的 φ
существует такого phi
从 A 出发的映射，
из A. в 2 в степени a
到 2 的 A 次幂集，
для которого соответственно существует p
使得相应地存在 p。
минус 1 вот не существует вот этой
减1，这个根本不存在
конструкции не
这种结构不存在
来源：Alexey Savvateev · CC BY 3.0