第 3 集 · B1 · 7 分钟
数学思维 · 第3集 · 函数
萨瓦捷耶夫用慢而清楚的俄语讲逻辑、函数、证明和集合，适合跟听长句。 开头：在集合概念之后，是的，就是这个概念
中俄字幕
после понятия множества, да, это понятие
在集合概念之后，是的，就是这个概念
функции. Функция.
函数。函数。
одно множество
一个集合
отправляет другое, а возможно и в то же
映射到另一个集合，也可能映射到自身
самое. То есть она как бы берет любой
即它从该集合中任取一个元素，并指出
элемент из этого множества и говорит, куда
该元素应去往何处
ему надо. перейти здесь
这里。函数就是我画出的所有这些箭头。
функция это все вот эти вот нарисованные
函数就是我画出的所有这些箭头。
мною стрелочки.
箭头。
Давайте приведем примеры функций и не
我们来举一些函数和非函数的例子
функций. ну в нашей жизни просто
功能。嗯，在我们的生活中，就是如此。
вот например есть такая функция как отец.
例如，有这样一种功能，叫作‘父亲’。
спорят несколько братьев и сестер,
几个兄弟姐妹在争吵，
показывая на папу: « Это мой папа!» «
指着爸爸说：‘这是我的爸爸！’
Нет, — говорит, — это мой папа», — говорит
‘不，’另一个人说，‘这是我的爸爸！’
другая, да? «
对吧？
Третья говорит: нет, это мой папа, да?» И
第三个人说：‘不，这才是我的爸爸，对吧？’
получается, что они друг другу как бы
结果，他们彼此之间似乎
противоречат, перечат, но на самом деле
相互矛盾、相互抵触，但事实上
они все правы, если они братья и сестры,
如果他们是兄弟姐妹，那么他们说的都是对的。
если это их общий папа.
如果这是他们共同的父亲。
Отец— это функция на множестве всех людей,
父亲是定义在所有人集合上的一个函数。
вот это вот люди.
这些人就是所有人。
Вот, и, соответственно, со множеством всех
因此，相应地，对于所有人组成的集合，
людей, возможно, ну как бы в каких- то
在某些情况下，可能……嗯……
случаях может быть отец, если папа вдруг
可能存在父亲，比如父亲已经去世了，
уже умер, если вот этот человек, у
或者我们正在讨论其父亲的这个人，
которого мы отца рассматриваем, уже
其本人已经成年了，对吧？
взрослый, да, допустим, то это люди, ну
那么这些人，嗯……就是曾经生活过、正在生活着的人。
как бы те, которые когда- либо жили, живут
也就是那些曾经生活过、正在生活着的人。
сейчас или когда- либо жили.
现在或曾经生活过。
То есть мы рассматриваем функцию, можно
也就是说，我们考虑的是一个函数，可以
даже так сказать, что функция отец
甚至可以说，这个‘父亲’函数
определена на множестве всех
定义在所有人组成的集合上，
людей, а имеет значение во множестве всех
其值域是所有曾经生活过的人组成的集合。
людей, которые жили когда бы то ни было.
也就是说，所有曾经生活过的人组成的集合。
То есть вот это множество L, а это L с
也就是说，这是集合L，而这是带波浪线的L，
волной, и на самом деле L внутри L с
实际上，L包含在带波浪线的L中。
волной находится.
也就是说，L位于带波浪线的L内部。
И после этого это корректно определенная
之后，这就成为一个定义正确的
функция, но иногда бывает так, что отец,
一个函数，但有时会出现这样的情况：父亲，
ну давайте обозначим это f, да, f это
好吧，我们把它记作 f，对，f 是
отец, father, father.
父亲，father，father。
f a равно f b тогда и только тогда, когда
f(a) 等于 f(b)，当且仅当
a и b братья, ну или сестры там, или брат
a 和 b 是兄弟，或者姐妹，或者兄妹。
с сестрой. Вот, то есть эта функция иногда
和妹妹。也就是说，这个函数有时
разные точки переводит в одно и то же, что
将不同的点映射到同一个值，
не возбраняется для функции.
这在函数定义中是允许的。
Функция главное, чтобы для каждой точки
函数的关键在于，对每个输入点，
давала один конкретный, четко определенный
它必须给出一个具体、明确的输出值。
адрес. Одед— это функция или нет?
地址。奥德（Oded）是一个函数吗？
Нет. Потому что у каждого человека ровно
不是。因为每个人恰好有
два деда. который отец мамы и который отец
两位祖父：母亲的父亲和父亲的父亲。
отца. И это, ну либо можно сказать, что
父亲的父亲。也就是说，嗯，或者说
это строго двузначная функция.
这是一个严格意义上的二元函数。
Ну бывает, что под функциями понимаются и
嗯，有时‘函数’一词也包括多值函数，
многозначные тоже, но в стандартных
但多值函数也包含在内，不过在标准的
математических книгах во всех считается,
数学教材中，普遍认为
что функция— это однозначно определенная
函数是单值确定的。
функция. И если каждому элементу сразу два
如果每个元素同时对应两个值，
соответствует, это уже не функция.
符合，这已经不是函数了。
По той же причине сын функцией не
出于同样的原因，‘儿子’也不是函数。
является. Более того, в случае с сыном
更是如此。而且，在‘儿子’的情况下，
возможно еще более неприятная ситуация,
还可能出现更糟糕的情况，
что она просто не всюду определена.
即它并非处处有定义。
У кого- то может и нет сыновей, ни
有些人可能根本没有儿子，
дочерей, или вообще еще не женился.
也没有女儿，甚至尚未结婚。
Вот, и тогда значит вот тут некуда, некуда
因此，这个点就无处可放，
вот эту точку деть, нет сыновей.
因为没有儿子。
И кстати, если бы функцию отец мы
顺便说一下，如果‘父亲’这个函数我们
определяли на множестве живущих людей со
在所有在世的人集合上定义
множеством живущих людей, то опять как бы
在所有在世的人集合上，那么又会像这样
те люди, у которых папа уже умер, они бы
那些父亲已经去世的人
соответственно, у них бы эта функция на
相应地，这一函数在他们身上就无法定义
них не была определена, и тогда бы мы
于是我们就会说
сказали, что отец— это не функция.
‘父亲’不是一个函数。
Вот. Но вот дед и сын в принципе не
是的。但原则上，‘祖父’和‘儿子’
функции, их не нельзя определить как
都不是函数，无法将它们定义为函数
функции, да определить по вот этим вот
确实无法依据如下所述的原因
вышеупомянутым причинам.
上述原因。
То есть функция, чтобы каждому ровно один
也就是说，每个元素都恰好对应一个
ставился в соответствие.
被对应。
А вот возраст— это функция возраст.
而年龄——这是一个年龄函数。
эта функция для каждого человека
这个函数对每个人而言，
определенного возраста В от Саватеев
由萨瓦捷耶夫确定的特定年龄。
например равно 46, кажется, если я не
例如，似乎是46岁，
ошибаюсь, лет.
如果我没记错的话。
Вот. Ну и возраст— это функция.
是的。那么年龄就是一个函数。
Давайте напишем, как она выглядит.
我们来写一下它的表达形式。
Это функция из множества всех
这是一个从所有人集合出发的函数，
людей, на самом деле всех живущих и
人，实际上所有活着的和
умерших людей, потому что можно
已故的人，因为可以
отсчитывать возраст от рождения, не
从出生起计算年龄，不
учитывая смерть, игнорируя её.
考虑死亡，忽略它。
Всё равно потом все воскреснут при втором
无论如何，所有人最终都会在第二次
пришествии. А соответственно,
降临中复活。因此，
можно для каждого посчитать его возраст в
可以为每个人计算其出生时刻的年龄。
момент его рождения.
在出生时刻的年龄。
У Ферма, например, возраст там 419 лет,
例如费马的年龄是419岁，
если мне не изменяет память.
如果我没记错的话。
Вот, и эта функция в натуральные числа,
看，这个函数映射到自然数，
да, она бьёт.
是的，它进行映射。
Ну, бьёт, математики ещё говорят бьёт, да,
嗯，映射——数学家们还说‘映射’，没错，
функция бьёт, действительно берёт и бьёт
这个函数进行映射，确实就是把输入映射过去，
туда. Но если я так пишу, я имею в виду,
到那里。但若我这样写，我的意思是，
что натуральные числа начинаются с нуля,
自然数从零开始，
потому что новорожденные младенцы тоже
因为新生儿也是人，
люди, а возраст их ноль лет, да, то есть
而他们的年龄是零岁，对吧？也就是说，
округлённый возраст, то, что мы понимаем
这是四舍五入后的年龄，即我们所理解的，
под количеством полностью прожитых лет, он
完全度过的整年数，它
может быть равен нулю.
可能等于零。
минус единицы как бы он не может быть
不能是负一。
равен мы все таки еще тех которые в
等于，我们仍然包括那些……
животике у мамы не считаем
在妈妈肚子里的不算。
вот поэтому вот получается такая функция
因此，就形成了这样的函数。
она называется возраст
它被称为年龄。
Есть ещё очень важная функция,
还有一个非常重要的函数，
которая называется паспортные данные.
叫做身份信息。
Паспорт. данные, паспортные данные.
身份证信息，身份信息。
Чем она хороша?
它有什么优点？
Ну, во- первых, эта функция p, она тоже
嗯，首先，这个函数p也是
множество людей переводит в какие- то
将大量人员映射为某些
множество из наборов каких- то символов,
由各种符号组成的集合，
циферок, фамилии, имя, отчество и символы
数字、姓氏、名字、父称以及带数字的符号。
с циферками.
带数字的符号。
Она хороша тем, что она.
它的优点在于它
является то, что математики называют
是数学家所称的
инъекцией. Это функция, которая разные
单射。这是一种函数，它永远不会把不同的
точки никогда не переводит в одну и ту же.
点映射到同一个点上。
То есть двух разных людей не может быть
也就是说，不可能有两个不同的人
одинаковых паспортных данных.
相同的护照信息。
Почему когда вас там куда- то
为什么当你们被邀请到那里时，
приглашают и говорят там" предъявите
他们说‘请出示护照’，
паспорт", недостаточно бывает иногда
有时仅提供姓名和父称并不足够。
указать фамилию и имя отчество.
有时仅提供姓氏、名字和父称并不足够。
Потому что фамилия, имя и отчество могут
因为不同人的姓氏、名字和父称可能相同。
совпадать у двух разных людей.
因为两个不同的人可能拥有相同的姓氏、名字和父称。
Я лично знаю двух Волковых Сергеев
我本人就认识两位姓沃尔科夫、名谢尔盖、父称弗拉基米罗维奇的人。
Владимировичей.
弗拉基米罗维奇。
Просто лично знаю.
只是我个人认识而已。
Ну и, наверное, где- то существует
嗯，大概 somewhere 也存在
Савватеев Алексей Владимирович, который не
萨瓦捷耶夫·阿列克谢·弗拉基米罗维奇，他不是
я. Но паспортные данные у нас не
我。但我们的护照信息并不
совпадают. То есть государство вводит
一致。也就是说，国家颁发
такой документ, который кодирует
这样一种文件，它对人进行编码，使得
людей так, что разные люди переводятся в
不同的人被转换为
разные наборы цифр.
不同的数字组合。
Вот, но вообще про то, как математики
好了，不过总体来说，关于数学家
классифицируют разные функции, мы сейчас
如何对不同函数进行分类，我们接下来
подробно поговорим.
详细讨论。
Функции бывают
函数有
инъекция, сюръекция, биекция—
单射、满射、双射——
тоже взаимно однозначное соответствие.
也是一一对应。
Ну и вообще, как математики формально
此外，数学家是如何形式化地
задают функцию,
定义函数的，
формально что такое функция на формальном
在集合论的形式语言中，函数究竟是什么，
языке теории множеств, вот.
就是这个。
Это тоже, с этим очень полезно
了解这一点也非常有用，
познакомиться, это тоже часть языка
它同样是数学语言的一部分，
математики и безусловно к нашему курсу
并且毫无疑问与我们的课程相关。
принципов математического мышления
数学思维的原则
относится. Давайте сейчас об этом и
有关。我们现在就来谈谈这个。
поговорим. Вот, а теперь мы
来谈谈这个。好了，现在我们
придем к понятию функции на немножко более
将用稍正式的语言引入函数的概念。
формальном языке.
正式的语言。
которым и пользуются математики на самом
数学家实际上所使用的语言，
деле если вы заглянете во все серьёзные
如果你翻阅所有严肃的数学书籍，
книги там будет написано что функция
其中都会写明：函数是……
это некоторое подмножество внимания
某个特定集合的子集。
来源：Alexey Savvateev · CC BY 3.0