第 5 集 · B1 · 7 分钟
数学思维 · 第5集 · 证明
萨瓦捷耶夫用慢而清楚的俄语讲逻辑、函数、证明和集合，适合跟听长句。 开头：这当然是最核心的部分。
中俄字幕
Это, конечно, сердце самое.
这当然是最核心的部分。
Потому что здесь я объясню, как в
因为在这里，我将解释数学中如何得出结论。
математике приходят к заключениям.
也就是说，数学之外的真理是什么。
То есть что такое истина вне математики.
也就是说，数学之外的真理是什么。
Это какое- то знание, которое добыто там
这是一种在那里获得的知识
итеративным путем, какими- то разговорами,
通过迭代的方式，通过一些对话
уточнениями постепенными,
逐步澄清
согласием между экспертами.
以及专家之间达成的共识
Ну и оно всегда как бы носит нечеткий
而且它总是显得模糊不清。
характер. Мы там почти ничего не знали, мы
几乎一无所知，我们……
уже довольно много знаем, мы понимаем
已经了解得相当多了，我们理解
глубоко. В математике все не так.
得很深。但在数学中并非如此。
Математика- это идеальная область, в
数学是一门完美的学科，
которой просто четко есть вот как бы есть
其中界限非常清晰：
гипотеза- это что- то, что мы
所谓猜想，就是我们
предполагаем, но еще не знаем верно ли.
假设成立，但尚不确定其是否正确。
Ее можно опровергнуть- это если привести
它可被证伪——即给出一个反例。
контрпример к ней.
反例。
Доказать строго- это если значит провести
严格证明，即通过严谨的推理
рассуждения нас убеждающие на строгом
逻辑上说服我们。
языке, что она верна.
语言中，它是正确的。
Вот, и тогда гипотеза превращается во что?
那么，此时假设变成了什么？
В теорему. Она становится теоремой, ее
定理。它成为一条定理，并被证明。
доказывают. Но
但
все- таки из чего- то мы исходим, да?
我们终究还是从某些前提出发的，对吧？
Вот в начале что- то стоит, из чего мы все
在开头处总有一些基本前提，我们由此推导出一切。
выводим. Считается, что это аксиомы.
这被认为是公理。
Но на самом деле я бы сказал так, что
但实际上，我想说：
аксиоматический подход к математике— это
数学中的公理化方法——
уже попытка как бы прямо всё строго
已经是一种试图严格地直接构建一切的努力。
поставить на формальные рельсы.
使其形式化。
И на этих рельсах в некотором месте поезд
而在这条轨道上的某个位置，列车
как бы поезд разбивается об стену теоремы
仿佛撞上了哥德尔不完备性定理这堵墙。
Гёделя о неполноте.
哥德尔不完备性定理。
Поэтому я не очень большой фанат
因此，我并不是公理化方法的狂热支持者，我只想说，
аксиоматического метода, я лишь скажу, что
在我喜欢的数学中，在我的频道上所讲的例子中，
в моей математике, которую я
在我的数学中，我所喜爱的数学中，
люблю, которые примеры я рассказываю на
我喜欢的数学中，我在频道上讲解的例子中，
канале, обычно аксиома— это то, что уже
公理通常就是那些显然显而易见的东西，
как бы тривиально можно увидеть, вот
就是那种一眼就能看出来的东西。
просто видишь, и как бы оно очевидное, из
只是看到它，它就显得显而易见，源于
таких вещей я исхожу как аксиом.
我将这类事物视作公理。
Как из аксиом.
就像从公理出发一样。
Ну а дальше рассуждения проводятся, чтобы
接下来进行推理，以
убеждать в каких- то более сложных вещах.
说服人们接受某些更复杂的事物。
Ну, собственно, какие бывают типы
那么，究竟有哪些类型的
доказательств и способы рассуждать
证明方法和推理方式呢？
можно увидеть только на примерах, только.
只能通过实例才能了解。
Поэтому начнём с первого примера.
因此，我们从第一个例子开始。
Даны n натуральных чисел: a1,
给定n个自然数：a₁，
a2, так далее, an.
a2，以此类推，an。
доказать что можно выбрать сумму подряд
证明可以从中选出若干连续的数求和。
идущих из этого набора чисел
这些数来自该数集。
доказать существует некоторая сумма подряд
证明存在某个由该数集中连续数字构成的和。
идущих чисел из этого набора,
这些连续数字来自该数集，
которая делится на n.
且该和能被n整除。
при некоторых i
对某些i而言，
которые не меньше единицы j которые не
其中i不小于1，j也不小于i，
меньше i соответственно j не больше чем n
且j不大于n。
самого то есть в принципе допускается что
即原则上允许出现……
среди подряд идущих только один взят это
在连续的数中，仅有一个被选取。
тоже тоже сумма
同样，这也是总和。
вот значит как
因此，意思是这样的：
проводятся рассуждения и что за метод
进行推理，并探讨所用的方法。
доказательства
证明。
таким образом значит что за метод
因此，所用的方法是：
используется в этом доказательстве
在此证明中采用的方法。
здесь можете поставить на паузу и подумать
此处可暂停思考。
сами, а я открываю карты.
请自行思考，我将揭晓答案。
прежде всего рассмотрим
首先，我们来分析。
вот такие n выражений.
这样的n个表达式。
то есть каждый раз добавляю очередное
即每次添加下一个数。
число. и возьмем их остатки от деления на
然后取它们除以n的余数。
n. два варианта,
两种情况：
либо один из остатков ноль.
要么其中一个余数为零。
тогда все доказано
此时命题得证。
и равно единице же какое получилось
且所得结果为一。
соответствующей суммой частичной.
对应某个部分和。
либо нулей среди этих остатков нет.
要么这些余数中没有零。
Но тогда среди этих n чисел.
但此时在这n个数中。
остатков отделения на n различных только n
n个不同余数，仅对应n个除法余数
минус один, потому что нуля нет.
减一，因为没有零
И вот принцип Дирихле: кролики и клетки.
这就是鸽巢原理：兔子和鸽笼
Это первый, самый такой интуитивно
这是第一种、最直观的
очевидный способ доказывать что- то.
明显证明某事的方法
Это апеллировать то, что пять кроликов,
即，若有五只兔子
четыре клетки, не рассадить, всё равно в
四个笼子，无法让每只兔子独占一个笼子
какой- то клетке будет их минимум два.
必然至少有一个笼子里关着至少两只兔子
Это означает, что если в данном случае n
这意味着，若本例中有n个数
вот этих чисел дают n минус один разный
它们产生n减1个不同的余数
остаток, да, только n минус один, то два
余数，对，只有n减1，即2
таких числа дают один и тот же остаток при
这样的数在除以n时得到相同的余数
делении на n.
除以n。
Ну например вот это и вот это.
例如，这个和这个。
Что мы тогда делаем?
那么我们该怎么做？
Вычитаем из этого это и получаем, что a
用这个减去这个，得到a
три плюс так далее плюс a n делится на n.
三加……加aₙ能被n整除。
ну а соответственно если какие то другие
那么相应地，如果其他某些
то тоже получается что тут сумма от а один
那么这里从a₁到aᵢ的和
до а и тут сумма от а один до а j вычитаем
这里从a₁到aⱼ的和相减
всё у нас всё готово
我们一切都准备好了
есть сумма подряд идущая, которая делится
存在一个连续的数列，其和能被整除
на n. Вот такой вот способ, основанный на
能被n整除。这就是一种基于
принципе Дирихле, и это такая детская
鸽巢原理的方法，属于非常基础的
математика, ну типа первый второй класс
数学，大概相当于小学一、二年级的水平
уже часто на кружках начинают это
现在许多课外兴趣班已经常开始讲授这类内容
рассказывать.
了。
А мы переходим к следующему пункту,
接下来我们进入下一个主题，
который называется
它被称为
метод фундирования.
奠基法。
Но на самом деле у него нет какого- то
但实际上它并没有一个
названия вот общего, он по
通用名称，它本质上
духу как бы это по духу бесконечный спуск
是一种精神上的无限下降
вниз. типа там принцип фирма эта фирма
向下。比如，这个公司，这家公司
придумала бесконечный спуск.
发明了无限下降。
Вот два доказательства таким образом мы
下面我们将通过两个证明来完成。第一题：
проведем. задача номер один
题目一：商人与人签订了
бизнесмен заключил
合同。
а уже номер два задача у нас задача номер
第二题：我们的题目二：商人与魔鬼
два бизнесмен заключил сделку с чертом.
签订了合同。
а именно, каждый день бизнесмен дает черту
即，商人每天都会给出一张钞票
какую- то купюру,
即某张钞票，
а он взамен егоя количество купюр меньшего
而对方则返还给他数量更多、但面额更小的钞票，
достоинства.
面额更小。
доказать что бизнесмен обязательно
证明商人必然会在有限时间内破产。
разорится. за конечное время.
在有限的时间内。
Такая немножко контринтуитивная, потому
这有点反直觉，因为
что кажется, что он будет просить все
看起来他每次索要的钱会越来越多，
больше и больше с каждым разом все большее
每次都要更多钱，对吧？
количество денег, да?
每次都要更多钱，对吧？
Но в чем тут дело?
但这里的问题是什么？
Вот смотрите, в чем дело.
您看，问题就在这里。
он когда выдает купюру данного
当它吐出指定面额的纸币时，
достоинства, у него появляется купюры
只会吐出面额更小的纸币。
только меньших достоинств.
只会吐出面额更小的纸币。
пусть купюры бывают там допустим пять
假设纸币面额有五千卢布，
тысяч рублей.
五千卢布。
пять тысяч, две тысячи, тысяча,
五千、两千、一千、五百，
пятьсот. ну я уж не знаю там двести сто да
嗯，我也不知道还有两百、一百，以及五十，
и пятьдесят но купюр меньше уже нету
但再没有更小面额的纸币了。
десятки по моему не в ходу давно значит
我很久没用十元纸币了
соответственно если этих там было какое то
因此，如果那些纸币原本有一定数量
количество допустим пятнадцать да
比如说十五张
там этих тринадцать этих двадцать восемь
那里有十三张、二十八张
изначально были какие то количества здесь
最初这里有一定数量
да ну вот теперь смотрите что происходит
对，现在您看发生了什么
с каждым разом, когда он дает одну из
每次他划掉一张纸币时
купюр черту, он
他
понижает. значит понижает количество вот
就会减少，即减少相应纸币的数量
соответствующих купюр, ну а увеличиваются
而其他纸币的数量则会增加
все, которые идут внизу, правильно?
所有在底部的，对吗？
ну давайте посмотрим значит
好吧，那我们来看看
предположим что он ну если он если он
假设他……嗯，如果他，如果他……
выдавал все время вот эти пятьдесят купюры
一直都在吐出这五十张钞票
то они просто у него в какой то момент
那么在某个时刻，它们就耗尽了
кончились и все
就这样结束了
а следовательно следовательно на самом
因此，实际上在某个时刻，如果他没有……
деле в какой то момент если он не
破产的话……
разорился тут кстати уже начинается от
顺便说一下，这里已经开始出现反证法了
противного метод от против
反证法
来源：Alexey Savvateev · CC BY 3.0